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이 답인데 댓글이 짧다네요.

뜬금없이 여기에 대댓 달아 죄송합니다... 타이밍을 놓쳐서 이리 늦게 올리는 것이지만 용서해주시길 부탁드립니다...

제가 계산에 약한지라 유저분들께 검토 좀 부탁드리겠습니다. 왜 답이 입력하기 어려운 무리수가 나오는지 모르겠네요...

(수정) 역시 계산 실수 했습니다. 2 √3 이 답인 것 같습니다.


y-x = k (k는 상수)라 하면 이 방정식을 평면의 방정식으로 볼 수 있음.
즉, 다음 두 방정식
x+y+z = 3
x^2+y^2+z^2 = 9
의 교선이 나타내는 원과
평면 y-x = k와 접할 때(한 점에서 만날 때) k가 최댓값을 가짐을 평면과 원의 관계를 통해 직관적으로 추론할 수 있음.
따라서 다음의 세 방정식
(1) x+y+z = 3
(2) x^2+y^2+z^2 = 9
(3) y-x = k
의 해의 집합의 원소(공간의 점)의 개수가 1이 되도록 하는 k값을 찾으면 됨.

계산값 도출의 편리성을 위해 공간벡터를 이용하여 전개하도록 함. (1)과 (2)를 연립하면 다음의 직선 m의 방정식을 구할 수 있음.
직선 m : x-(3-k)/2 = y-(3+k)/2 = z/(-2)
따라서 매개변수 t를 t = z/(-2)라 하면 직선 m 위의 임의의 점 P의 좌표는 다음과 같음.
P(t+(3-k)/2, t+(3+k)/2, -2t)
이 때 점 P의 좌표를 방정식 (3)에 대입한 후 도출되는 실수 t의 값을 위의 점 P의 좌표에 대입한 것이 방정식 (1), (2), (3)의 해(교점)가 되고, 따라서 실수 t의 해의 개수와 (1)과 (2)와 (3)의 교점의 개수는 같음.
점 P의 좌표를 (3)에 대입하고 양변에 4를 곱하면
(2t+3-k)^2 + (2t+3+k)^2 + 16t^2 = 36
정리하고 양변을 2로 나누면
12t^2 + 12t + k^2-9 = 0
t에 대한 2차 방정식으로 보면 판별식 D는
D = 36–12(k^2-9) = 12(12-k^2)
이 때 실수 t의 해가 하나가 될 조건은 D = 0이고, 따라서 k^2 = 12, 즉 k = 2√3 또는 k = -2√3이다.
또한 k = y-x이므로 y-x의 최댓값은 2√3이다.

18세 미만임을 증명하였다. 신난다.